1.7 范畴论

集合、半群、群、向量空间、拓扑空间、微分流形等结构形成不同的范畴。范畴论研究它们共同的组织方式。本书只给出基本印象，后文不要求广泛使用这一抽象语言。

范畴的组成

范畴

一个范畴包含：

1. 一类称为对象的成员。这里使用“类”而不是“集合”，因为“全部集合”这样的汇集太大，不能直接作为集合而避免基础矛盾。
2. 对每对对象 $A,B$，有态射集 $\mathrm{Mor}(A,B)$，其中的成员记为 $\varphi :A\to B$。
3. 对 $\varphi :A\to B$ 与 $\psi :B\to C$，有复合态射 $\psi \circ \varphi :A\to C$，并满足结合律

$$(\rho \circ \psi )\circ \varphi =\rho \circ (\psi \circ \varphi ).$$

每个对象 $A$ 还有恒等态射 ${\iota }_A:A\to A$，满足 $\varphi \circ {\iota }_A=\varphi$ 与 ${\iota }_A\circ \psi =\psi$，只要复合的定义域、陪域相匹配。

例 1.15 · 集合范畴

对象是集合，态射是映射；态射复合就是函数复合，恒等态射是恒等映射。第 1.4 节的结合律与恒等性质保证范畴公理成立。

随文练习 1.7-A · 半群范畴

证明全部半群以半群同态为态射组成一个范畴（参见例 1.12）。

后续章节中的常见范畴包括：

对象	态射	原书章节
群	群同态	2
向量空间	线性映射	3
代数	代数同态	6
拓扑空间	连续映射	10
微分流形	可微映射	15
李群	李群同态	19

单态射、满态射与同构

单态射 · 左可消去

$\phi :A\to B$ 是单态射，若对任意对象 $X$ 及 $\alpha ,{\alpha }^{\prime }:X\to A$，

$$\phi \circ \alpha =\phi \circ {\alpha }^{\prime }⟹\alpha ={\alpha }^{\prime }.$$

满态射 · 右可消去

$\phi :A\to B$ 是满态射，若对任意对象 $X$ 及 $\beta ,{\beta }^{\prime }:B\to X$，

$$\beta \circ \phi ={\beta }^{\prime }\circ \phi ⟹\beta ={\beta }^{\prime }.$$

交换图中沿不同路径的箭头复合给出同一态射。图 1.3 中，单态射性质使满足 $\psi =\phi \circ \alpha$ 的 $\alpha$ 至多唯一；图 1.4 则表达满态射情形。这里保证的是唯一性，不保证对任意图都存在所需态射。

图 1.3 · 单态射 $\phi$。

图 1.4 · 满态射 $\phi$。

集合范畴中的单态射（随文结论）

集合范畴中，单态射恰好是单射。

证明

若 $\phi$ 单射，由 $\phi (\alpha (x))=\phi ({\alpha }^{\prime }(x))$ 得 $\alpha (x)={\alpha }^{\prime }(x)$，对每个 $x$ 都成立，所以 $\alpha ={\alpha }^{\prime }$。

反过来，若 $\phi$ 是单态射，取单元素集 $X=\{x\}$。对 $a,a^{\prime }\in A$，定义 $\alpha (x)=a$、${\alpha }^{\prime }(x)=a^{\prime }$。若 $\phi (a)=\phi (a^{\prime })$，则 $\phi \circ \alpha =\phi \circ {\alpha }^{\prime }$，故 $\alpha ={\alpha }^{\prime }$，得到 $a=a^{\prime }$，因此 $\phi$ 单射。

集合范畴中的满态射恰好是满射，证明留作习题 1.15。

同构

若存在 ${\phi }^{\prime }:B\to A$ 使

$${\phi }^{\prime }\circ \phi ={\iota }_A,\phi \circ {\phi }^{\prime }={\iota }_B,$$

则称 $\phi :A\to B$ 为同构。

在集合范畴中，同构就是双射，也等价于同时为单态射和满态射。但一般范畴中，“单态射且满态射”不必推出同构。例如，在 Hausdorff 拓扑空间范畴中，会出现单态射、满态射却无连续逆的映射。原书引用 [11] 作进一步说明，然而所给章节摘录缺少对应参考条目。

习题

习题 1.15 · 集合范畴的满态射

证明集合范畴中的态射是满态射，当且仅当它是满射。

被引用 1 次

• 1.7 范畴论集合范畴中的满态射恰好是满射，证明留作习题 1.15。

习题 1.16 · 同构的消去性质

证明每个同构既是单态射又是满态射。