1.6 结构

物理理论有静态背景与动态演化两个方面。狭义相对论的背景是闵可夫斯基空间，量子力学的背景是希尔伯特空间。惠勒称这些数学结构为物理系统演化的“舞台”。本节把结构粗略分为代数与几何两类，但这一分法只是理解上的指引。

代数结构关注集合上的关系、运算和按照规则进行的形式操作；几何结构关注某些子集组成的族，以及这些族满足的并、交等规律。代数与几何之间存在广泛联系，实际并不容易截然区分。

代数结构

集合 $S$ 上的二元运算是映射

$$\phi :S\times S\to S.$$

对 $a,b\in S$，产物 $\phi (a,b)$ 可以写为 $ab$、$a+b$、$a\circ b$、$[a,b]$ 等，具体符号取决于背景。

代数结构通常由集合及一个或多个运算构成，也可能涉及不同集合。例如，向量空间的标量乘法是“标量集 $\times$ 向量集 $\to$ 向量集”的映射。高元运算也可以看成二元运算的族：若 $\varphi :S^3\to S$，固定 $a$ 就得到 ${\varphi }_a(b,c)=\varphi (a,b,c)$。

运算满足 $ab=ba$ 时称为交换；满足 $a(bc)=(ab)c$ 时称为结合。原书对加法采用交换约定。矩阵乘法与映射复合具有结合性，而三维向量叉积一般没有，因为

$$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c}\ne (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c}.$$

例 1.12 · 半群

集合 $S$ 配上满足结合律的运算，称为半群。若存在 $e\in S$ 使 $ea=ae=a$ 对所有 $a$ 成立，则称有单位元；这样的半群也称幺半群。

**（1）自然数加法。**正整数在加法下构成交换半群；加入 $0$ 得到 $\hat{\mathbb{N}}=\{0,1,2,\dots \}$，其单位元是 $0$。

**（2）映射迭代。**映射 $f:S\to S$ 是离散动力系统。$\{f,f^2,f^3,\dots \}$ 在复合下是交换半群。令 $f^0={\mathrm{id}}_S$，得到演化半群 $E_f$。

映射 $\varphi :\hat{\mathbb{N}}\to E_f$，$\varphi (n)=f^n$，保持运算：

$$\varphi (n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m.$$

保持运算的映射称为同态；若它是双射，则称为同构。同构半群具有相同的运算结构。这个 $\varphi$ 不必单射。例如，在 $S=\mathbb{R}\setminus \{2\}$ 上取

$$f(x)=\frac{2x-3}{x-2}.$$

有 $f^2={\mathrm{id}}_S$，因而 $E_f$ 与模 $2$ 剩余类的加法半群同构。

**（3）符号串。**用数学符号及可数的变量、常量符号构成有限字符串。连接两个字符串给出新的字符串，所有字符串在连接下构成半群。其中只有一部分符合语法，并能依照推理规则操作。

哥德尔不完备定理表明：对一致、可有效公理化并且足以表达算术的体系，存在体系不能证明也不能否证的命题。这里的“不可判定”是相对于该公理体系而言，不是说在所有数学意义上都无法知道。原书提出其与理论物理的联系仍待研究。

**编校：**原文的“one-to-one”在同构定义处应要求双射，而不能仅要求单射。

被引用 1 次

• 1.7 范畴论证明全部半群以半群同态为态射组成一个范畴（参见例 1.12）。

几何结构

几何结构可以看成指定 $S$ 的某些子集族，规定哪些子集符合要求以及它们应满足哪些关系。形式上，它涉及 $2^S$ 的一个或多个子集。

例 1.13 · 欧几里得几何

点、线段、直线、三角形和圆，都可以视为平面的子集。它们源于可视的物理对象，却是没有实际尺寸或厚度的理想化概念。《几何原本》的古典表述并不完全符合现代公理体系对未定义术语与定义的区分，但它是数学公理化的重要历史起点。

原书以现代化语言列出五条公设：

1. 两点决定以它们为端点的唯一线段。
2. 线段可以延长为唯一的直线。
3. 给定中心 $A$ 与正半径 $r$，存在唯一的圆，其上各点到 $A$ 的距离为 $r$。
4. 所有直角相等。
5. 给定直线 $\ell$ 与线上之外的点 $A$，存在唯一一条过 $A$ 且不与 $\ell$ 相交的直线（Playfair 平行公理）。

点可看作单元素集；“点在线上”可以解释为集合的属于关系。角可以由交点及两条关联直线表示。长度、全等与直角等概念的精确公理化还需要更多规定，希尔伯特后来澄清了这些问题。

第五公设的独立性问题促成了波尔约、罗巴切夫斯基、高斯、黎曼等人对非欧几何的研究，最终与广义相对论密切联系。几何本来就试图整理物理世界中的空间关系；相对论以及规范理论等延续了几何与物理相结合的传统。

笛卡尔的解析几何把平面表示为 ${\mathbb{R}}^2$，以勾股公式定义距离：

$$d((x,y),(u,v))=\sqrt{(x-u{)}^2+(y-v{)}^2}.\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

在 $n$ 维中，

$$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}.$$

闵可夫斯基把狭义相对论写成四维伪欧几何，其中时间项与空间项符号不同。广义相对论让这种几何在整体上弯曲，只在局部保留相应结构。复向量空间中内积与完备性所给出的希尔伯特空间，则构成量子力学的数学背景。原书强调这些现代结构与勾股思想之间的联系。

例 1.14 · 拓扑

$S$ 上的拓扑是 $\mathcal{O}\subseteq 2^S$，其成员称为开集，满足：

1. $\varnothing ,S\in \mathcal{O}$。
2. 若 $U,V\in \mathcal{O}$，则 $U\cap V\in \mathcal{O}$。
3. 若 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{O}$，则 $\bigcup \mathcal{U}\in \mathcal{O}$。

第二条推出有限交仍开；第三条允许任意并，包括无限并。它显然属于对子集族作规定的几何结构。原书第 10 章系统讨论拓扑。

粗略地说，二元代数运算 $S\times S\to S$ 的图像是 $S^3$ 的子集；几何结构则关注 $2^S$ 的子集。然而，这并不是严格分类。欧氏几何既可用点、线、圆之间的关系理解，也可用 ${\mathbb{R}}^2$ 上的差映射和距离映射研究。两种方法可以相互转换，也可同时使用。

动力系统

物理规律描述系统如何在其代数或几何背景中演化。连续演化常以微分方程表示；适定的初值问题支持唯一演化和预测。但精确解只在特殊情形下可得，数值方法常把时间离散化。离散模型也可以帮助研究难以解析处理的连续理论。

原书还以普朗克时间

$$T_{\mathrm{Planck}}=\sqrt{\frac{G\hslash }{c^5}}$$

讨论量子引力尺度的动机。关于这一尺度上连续时空或微分方程失效的说法，是作者的物理猜想性讨论，不能视为已证明结论。

离散动力结构是集合 $S$ 连同映射 $f:S\to S$。即使这种结构很简单，重复迭代也可以产生复杂现象。例如 Logistic 映射

$$f:[0,1]\to [0,1],f(x)=Cx(1-x),0<C\le 4,$$

可用于有限资源条件下的种群模型，在某些参数区间呈现混沌等行为。另一个例子是 Hénon 映射

$$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,f(x,y)=(y+1-a{x}^2,bx),$$

见文献 [8,9]。

若把状态定义为函数 $\varphi :S\to \{0,1\}$，则例 1.7 把状态空间识别为 $2^S$。原书在广义用法下把这一状态空间上的离散动力结构称为元胞自动机。

映射 $f:S\to S$ 诱导状态上的映射

$$f^{\ast }:2^S\to 2^S,f^{\ast }(\varphi )=\varphi \circ f.$$

新状态在 $p$ 处的值，取自旧状态在 $f(p)$ 处的值。这称为拉回：映射对函数的作用方向与它在点上的作用方向相反。对子集也可写作 $U\mapsto f^{-1}(U)$。

不是所有状态空间上的动力结构都能这样产生。若 $|S|=n$，则 $S$ 上的自映射有 $n^n$ 个，而 $2^S$ 上的自映射有

$$(2^n{)}^{2^n}=2^{n{2}^n}$$

个。$n=4$ 时已达 $2^{64}\approx 2\times 10^{19}$。康威生命游戏展示了简单局部规则如何产生稳定图形、移动图形和复杂演化，见 [9,10]。