1.2 子集、并集与交集

子集与幂集

若 $T$ 的每个元素都属于 $S$，称 $T$ 为 $S$ 的子集，记作

$$T\subseteq S⟺\forall a(a\in T\Rightarrow a\in S).$$

也可以称 $S$ 为 $T$ 的超集。空集 $\varnothing$ 不含任何元素，因此 $\varnothing \subseteq S$ 对所有集合 $S$ 成立。原因是子集定义中的前件 $a\in \varnothing$ 永不成立，蕴含式总为真，这称为真空真。

集合相等的判据（随文结论）

$$T=S⟺T\subseteq S\text{ 且 }S\subseteq T.$$

证明

外延公理中的 $a\in T\iff a\in S$ 等价于两个方向的蕴含，分别对应 $T\subseteq S$ 与 $S\subseteq T$。

随文练习 1.2-A · 空集的唯一性

若 ${\varnothing }^{\prime }$ 也是空集，证明 ${\varnothing }^{\prime }=\varnothing$。

集合 $S$ 的所有子集组成它的幂集，记作 $2^S$ 或 $\mathcal{P}(S)$。

例 1.1 · 有限集的幂集

若 $S$ 有 $n$ 个元素，含 $k$ 个元素的子集有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 个。因此

$$|2^S|=1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=(1+1{)}^n=2^n.$$

这解释了幂集记号 $2^S$ 的由来。

并、交与差

集合运算

$$\begin{array}{rl}S\cup T& =\{x\mid x\in S\text{ 或 }x\in T\},\\ S\cap T& =\{x\mid x\in S\text{ 且 }x\in T\},\\ S-T& =\{x\mid x\in S\text{ 且 }x\notin T\}.\end{array}$$

若 $S\cap T=\varnothing$，称两集合不相交。

随文练习 1.2-B · 不相交集合

若 $S$ 与 $T$ 不相交，证明 $S-T=S$。

对集合族 $\mathcal{A}$，并集包含至少属于某个成员的元素，交集包含属于每个成员的元素：

$$\bigcup \mathcal{A}=\{x\mid \exists S\in \mathcal{A},x\in S\},\bigcap \mathcal{A}=\{x\mid \forall S\in \mathcal{A},x\in S\}.$$

若 $\mathcal{A}=\{S_i\mid i\in I\}$，常写 ${\bigcup }_{i\in I}{S}_i$ 与 ${\bigcap }_{i\in I}{S}_i$。未指定全集时，本章涉及交集的集合族取非空族。

习题

习题 1.1 · 分配律

证明

$$\begin{array}{rl}A\cap (B\cup C)& =(A\cap B)\cup (A\cap C),\\ A\cup (B\cap C)& =(A\cup B)\cap (A\cup C).\end{array}$$

习题 1.2 · 集合族的分配律

对 $\mathcal{B}=\{B_i\mid i\in I\}$，证明

$$A\cap \bigcup \mathcal{B}=\bigcup _{i\in I}(A\cap B_i),A\cup \bigcap \mathcal{B}=\bigcap _{i\in I}(A\cup B_i).$$

习题 1.3 · 等式成立的条件

证明 $(A\cap B)\cup C=A\cap (B\cup C)$ 当且仅当 $C\subseteq A$。

习题 1.4 · 集合差的德摩根律

证明

$$A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C),A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C).$$

习题 1.5 · 集合族的补差

对 $\mathcal{B}=\{B_i\mid i\in I\}$，证明

$$A-\bigcup \mathcal{B}=\bigcap _{i\in I}(A-B_i).$$

**勘误：**所给 PDF 右侧印为并集，应为交集。

习题 1.6 · 幂集运算

证明

$$2^E\cap 2^F=2^{E\cap F},2^E\cup 2^F\subseteq 2^{E\cup F}.$$

习题 1.7 · 幂集与集合族

对非空集合族 $\mathcal{C}$，证明

$$\bigcap _{X\in \mathcal{C}}{2}^X=2^{\bigcap \mathcal{C}},\bigcup _{X\in \mathcal{C}}{2}^X\subseteq 2^{\bigcup \mathcal{C}}.$$