阅读说明
本章按原书 1.1–1.7 分节，涵盖全部 15 个编号例子、6 个编号结果（含推论 1.3）、16 道编号习题及 8 道随文练习。中文采用忠于数学内容的整理译文；英文保留原文讨论并修复 OCR。顶部可切换到当前页面的另一种语言。定理、例子、练习分别高亮，证明默认折叠。
数学物理的目标，是用纯粹的数学语言描述物理世界。从阿基米德、欧几里得和亚里士多德，到伽利略与牛顿，这一目标逐渐形成。牛顿发展微积分并把它用于物理，是决定性的转折；欧拉、拉格朗日、哈密顿与高斯等人随后以微分方程表述物理规律。
二十世纪的相对论与量子力学使物理越来越依赖抽象代数、拓扑、泛函分析与微分几何。甚至拉格朗日力学、哈密顿力学和经典热力学，也能用现代微分几何的语言重新表述。寻找合适的数学结构，往往与分析某一理论的具体推论同样根本。
为什么宇宙的运行可以用严格的数学规律表达？人类经过数百年思考建立的抽象结构，为何能描述自然？十九世纪由确定性微分方程控制的“钟表宇宙”图景，受到了量子概率和混沌现象的挑战。确定性与非确定性之间的交织，赋予世界丰富的行为；即使这些根本问题尚无最终答案，数学仍是理解物理世界的重要路径。
本书面向需要更严格数学训练的物理学生，假定读者了解微积分、线性代数和矩阵理论。目标是介绍数学物理使用的基本结构，并把重要物理理论放入相应的数学背景。后面各章的物理理论以结构和少量例子为重点，并不全面展开其全部推论。
集合是数学中最基本的概念。每一种数学结构都包含集合以及规定这些集合的关系；而关系本身也可以定义为集合。因此，可以把数学看作由集合论陈述构成，这就是从集合开始的理由。
把集合理解为“对象的汇集”属于朴素集合论。罗素发现，过于宽泛的集合构造会产生自指矛盾。严格公理体系可以规避这些问题。本书主要使用朴素的语言，但这并不使集合论的基础问题失去意义：第 1.5 节还会讨论它们与物理可能的联系。
本章一方面统一符号和约定，另一方面训练数学物理所需的严密思维。已经熟悉集合论的读者可以快速浏览，再继续学习后续结构。