1.4 映射

映射、像与原像

映射（函数）$\phi :X\to Y$ 可以定义为 $X\times Y$ 的一个子集，对每个 $x\in X$，恰有一个 $y\in Y$ 满足 $(x,y)\in \phi$。唯一性要求

$$(x,y)\in \phi \text{ 且 }(x,y^{\prime })\in \phi ⟹y=y^{\prime }.$$

通常写 $y=\phi (x)$ 或 $\phi :x\mapsto y$。这一定义把函数与其图像识别。$X$ 称为定义域，$Y$ 称为陪域，而

$$\phi (X)=\{\phi (x)\mid x\in X\}\subseteq Y$$

称为像（原书的 range）。

原像

对任意 $U\subseteq Y$，定义

$${\phi }^{-1}(U)=\{x\in X\mid \phi (x)\in U\}.$$

即使逆映射不存在，原像仍然有意义。此时 ${\phi }^{-1}(U)$ 是原像集合的完整记号。

例 1.6 · 正弦函数的原像

对 $\sin :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，

$${\sin }^{-1}(\{0\})=\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\},{\sin }^{-1}(\{2\})=\varnothing .$$

这里是集合原像，并不是反正弦函数。

$n$ 元函数 $\phi :X^n\to Y$ 常写成 $\phi (x_1,\dots ,x_n)$；形式上它只有一个来自乘积集的输入。也可允许不同类型的参数，写作 $\phi :X_1\times \cdots \times X_n\to Y$。

其中重要的例子是投影映射

$${\mathrm{pr}}_i:X_1\times \cdots \times X_n\to X_i,qquad{\mathrm{pr}}_i(x_1,\dots ,x_n)=x_i.$$

复合

对 $\phi :X\to Y$ 与 $\psi :Y\to Z$，定义

$$(\psi \circ \phi )(x)=\psi (\phi (x)).$$

映射复合的结合律（随文结论）

若 $\alpha :Z\to W$，则 $\alpha \circ (\psi \circ \phi )=(\alpha \circ \psi )\circ \phi$。

证明

两边作用于任意 $x\in X$ 都得到 $\alpha (\psi (\phi (x)))$。因此写成 $\alpha \circ \psi \circ \phi$ 不会产生歧义。

满射、单射与双射

三类映射

• 满射：$\phi (X)=Y$，陪域中每个点都有原像。
• 单射：$\phi (x)=\phi (x^{\prime })\Rightarrow x=x^{\prime }$，每个陪域点至多有一个原像。
• **双射：**既单射又满射，建立两个集合之间的一一对应。

只有双射才有定义在整个 $Y$ 上的逆映射 ${\phi }^{-1}:Y\to X$。

随文练习 1.4-A · 逆映射

若 $\phi :X\to Y$ 是双射，证明 ${\phi }^{-1}$ 也是双射，并且对每个 $y\in Y$ 有 $\phi ({\phi }^{-1}(y))=y$。

编校：此恒等式的变量属于 $Y$；所给 OCR 的 $X$ 已修正。

集合 $X$ 到自身的双射称为变换。最简单的是恒等映射

$${\mathrm{id}}_X(x)=x,qquad{\mathrm{id}}_X=\{(x,x)\mid x\in X\}\subseteq X\times X.$$

随文练习 1.4-B · 恒等映射

证明对任意 $\phi :X\to Y$，${\mathrm{id}}_Y\circ \phi =\phi \circ {\mathrm{id}}_X=\phi$。

双射满足 ${\phi }^{-1}\circ \phi ={\mathrm{id}}_X$ 与 $\phi \circ {\phi }^{-1}={\mathrm{id}}_Y$。

双射的复合与逆（随文结论）

若 $\phi$ 与 $\psi$ 都是双射，则复合也是双射，而且

$$(\psi \circ \phi {)}^{-1}={\phi }^{-1}\circ {\psi }^{-1}.$$

证明

利用结合律与恒等映射，

$${\phi }^{-1}\circ {\psi }^{-1}\circ \psi \circ \phi ={\phi }^{-1}\circ {\mathrm{id}}_Y\circ \phi ={\mathrm{id}}_X.$$

反方向的复合也得到相应陪域的恒等映射。

限制、包含与特征函数

对 $U\subseteq X$，映射的限制 $\phi {|}_U:U\to Y$ 满足 $\phi {|}_U(x)=\phi (x)$。恒等映射的限制给出包含映射 $i_U:U\to X$，于是

$$\phi {|}_U=\phi \circ i_U.$$

例 1.7 · 特征函数

对 $U\subseteq X$，定义 ${\chi }_U:X\to \{0,1\}$：

$${\chi }_U(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\notin U,\\ 1,& x\in U.\end{array}$$

任意 $\phi :X\to \{0,1\}$ 都是 $U={\phi }^{-1}(\{1\})$ 的特征函数。因此 $2^X$ 与从 $X$ 到 $\{0,1\}$ 的全体函数一一对应。

被引用 2 次

• 1.5 无限集每个输入有 … 种输出选择，共有 … 个输入。例 1.7 的特征函数对应给出 …，有限时两者基数都是 …。
• 1.6 结构若把状态定义为函数 …，则例 1.7 把状态空间识别为 …。原书在广义用法下把这一状态空间上的离散动力结构称为元胞自动机。

例 1.8 · 典范映射与纤维

若 $R$ 是 $X$ 上的等价关系，典范映射 $\phi :X\to X/R$ 定义为 $\phi (x)=[x{]}_R$，它是满射。

反过来，任意映射 $\phi :X\to Y$ 都定义等价关系 $aRb⟺\phi (a)=\phi (b)$。等价类恰好是非空纤维：

$$X/R=\{{\phi }^{-1}(\{y\})\mid y\in \phi (X)\}.$$

映射 $\psi :\phi (X)\to X/R$，$y\mapsto {\phi }^{-1}(\{y\})$ 是双射。若两个非空纤维相等，从中取 $x$ 就得到 $y=\phi (x)=y^{\prime }$。

**编校：**原文把 $\psi$ 的定义域写为整个 $Y$；必须限制到像 $\phi (X)$，否则空纤维不构成等价类，也不能保证单射。

被引用 1 次

• 1.7 范畴论对象是集合，态射是映射；态射复合就是函数复合，恒等态射是恒等映射。第 1.4 节的结合律与恒等性质保证范畴公理成立。