1.1 集合与逻辑

集合的两种描述

可以把集合 $S$ 写成若干对象的汇集：

$$S=\{a,b,\dots \}.$$

对象本身可以是集合。有些集合论体系要求所有对象都是集合；在物理讨论中，也常允许温度、速度等“原子对象”。列举法适用于有限集或可数无限集，但无法列出全部实数；第 1.5 节的康托尔对角论证会说明这一点。

更一般的方法是使用含变量 $x$ 的逻辑命题 $P(x)$：

$$S=\{x\mid P(x)\}.$$

它表示所有使 $P(x)$ 成立的对象。这里不展开形式逻辑的完整定义。命题由常量、变量、逻辑联结词以及量词组成，并按照逻辑规则操作。

“非”“且”“或”“蕴含”分别表达否定、合取、析取和条件关系。“若 $P$ 则 $Q$”记为 $P\Rightarrow Q$；“$P$ 当且仅当 $Q$”记为 $P\iff Q$，意思是

$$(P\Rightarrow Q)\text{且}(Q\Rightarrow P).$$

量词 $\forall$ 表示“对所有”，$\exists$ 表示“存在”。若 $P(x)$ 是命题，则 $\forall xP(x)$ 和 $\exists xP(x)$ 也是命题。

数学理论通过引入符号构造命题，并指定一组公理为真。其他真命题原则上应通过逻辑规则由公理推出。

朴素集合论的符号规则

1. 对任何常量或变量 $S$，“$S$ 是一个集合”是命题。
2. 若 $P(x)$ 是命题，则 $\{x\mid P(x)\}$ 是集合。
3. 若 $S$ 是集合，$a\in S$ 是命题，读作“$a$ 属于 $S$”。否定写作 $a\notin S$。

对集合构造所作的朴素规定是

$$a\in \{x\mid P(x)\}⟺P(a).$$

这些规则先规定合法的表达式；其中不受限制的集合构造会引出下面的罗素悖论，不能直接当作现代公理集合论的完整体系。

外延公理

两个集合相等，当且仅当它们有完全相同的元素：

$$A=B⟺\forall a(a\in A⟺a\in B).$$

有限集合可以改写为

$$\{a_1,\dots ,a_n\}=\{x\mid x=a_1\text{ 或 }\cdots \text{ 或 }x=a_n\}.$$

只有一个元素的集合称为单元素集，必须区分元素 $a$ 与集合 $\{a\}=\{x\mid x=a\}$。

元素本身都是集合的集合，称为集合族，常用花体字母表示。以集合 $I$ 为指标集时，写作

$$\mathcal{U}=\{U_i\mid i\in I\}.$$

有限族通常以 $\{1,\dots ,n\}$ 为指标集。自然数自身也可以通过皮亚诺公理等体系定义；本章不展开这一基础构造。

这些约定意味着，可以把大量数学内容归结为常量、变量、括号、逻辑联结词、量词与集合符号的操作。数学物理希望以数学描述自然，这又引出维格纳在论文《数学在自然科学中不可思议的有效性》[5] 中提出的惊奇。

罗素悖论

考虑“所有不属于自身的集合”组成的对象：

$$R=\{A\mid A\notin A\}.$$

悖论的推导

若 $R\in R$，根据定义就有 $R\notin R$，矛盾。若 $R\notin R$，它又满足属于 $R$ 的条件，因而 $R\in R$，仍然矛盾。

问题出在不受限制的集合构造，而非这两个条件推理本身。

为避免这样的矛盾，必须谨慎地规定集合论公理。常用的是策梅洛–弗兰克尔体系（ZF，加入选择公理后为 ZFC），可参见 [2] 或 [6]。本书采用朴素语言，并避免使用罗素式的自指构造。